Halo selamat datang di blog Ilmu Sains . Kali ini akan dibahas mengenai keilmuan matematika khususnya tentang Matriks. Kita akan belajar men...
Halo selamat datang di blog Ilmu Sains.
Kali ini akan dibahas mengenai keilmuan matematika khususnya tentang Matriks.
Kita akan belajar mengenai sifat-sifat matriks, operasi matriks, determinan, adjoint, kofaktor, dan invers matriks.
Penyelesaian
Sifat perkalian antara bilangan / konstanta dengan sebuah matriks adalah sebagai berikut :
\[3\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a &3b \\ 3c &3d \end{pmatrix}\]
Penyelesaian
Perhatikan kembali syarat perkalian dua matriks. Hasil kali matriks A yang berordo m x n dengan matriks B yang berordo n x p adalah sebuah matriks C yang berordo m x p.
Artinya operasi perkalian matriks hanya bisa berjalan bila Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks ke dua.
\[A_{mxn}.B_{nxp}=C_{mxp}\]
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2.2+(-3)(-1) &2.1+(-3).0 &2.3+(-3)2 \\ 3.2+1(-1) &3.1+1.0 &3.3+1.2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 4+3 &2+0 &6-6 \\ 6-1 &3+0 &9+2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Jadi,
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Aturan dari determinan matriks berordo $2 x 2$ adalah sebagai berikut :
Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix}$ , maka $det(A)=\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} =ad-bc$
Kembali ke soal, kita perlu mengalikan terlebih dahulu matriks $P$ dengan matriks $Q$ menggunakan kaidah perkalian matriks sebelumnya, baru kemudian dicari determinannya.
Matriks $P.Q$ $=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 &2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1.3+2.1 &1.2+2.0 \\ 3.3+2.1 &3.2+2.0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{pmatrix}$
Jadi
$det(P.Q)=\begin{vmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{vmatrix}$
$=(5.6-11.2)$
$\displaystyle =8$
Penyelesaian
Misalkan $A$ adalah matriks persegi. Invers dari matriks $A$ didefinisikan sebagai \[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)\]
Menggunakan kaidah-kaidah di atas, maka
$A^{-1}B$
$=\frac{1}{(1.4-1.3)}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ -3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 &1 \\ 4 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} (-3)(0)+(1)(6) &(-3)(2)+(1)(7) \\ (4)(0)+(-1)(6) & (4)(2)+(-1)(7) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 6 &1 \\ -6 &1 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Misalkan diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$ .
Maka,
$det(A)$
$=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})$
- $(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})$
*) dengan $a_{xy}$ adalah elemen matrik baris ke-$x$ dan kolom ke-$y$. Sehingga misal $a_{23}$ artinya elemen matriks baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Dan
$adj (A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} & a_{13} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
Kembali ke soal.
Dengan mensubstitusikan elemen matriks ke determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh data sebagai berikut:
$det(A)$
$=\begin{vmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{vmatrix}\begin{matrix} -3 &1 \\ 0 &2 \\ 4 &-2 \end{matrix}$
$=((-3)(2)(0)+(1)(-4)(4)+(2)(0)(-2))$
$-((4)(2)(2)+(-2)(-4)(-3)+(0)(0)(1))$
$=(-16)-(-8)$
$=-8$
Kemudian
$adj(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 &-4 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} 1 &2 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 2 &-4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &-4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 0 &-4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 0 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 0 &2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
Jadi, dari data-data determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh invers matriks ordo $3x3$ sebagai berikut.
$C^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)$
$=\frac{1}{-8}\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1 &0,5 &1 \\ 2 &1 &1,5 \\ 1 &0,25 &0,75 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Jika matriks minor $a_{ij}$ atau $\left | M_{ij} \right |$ menyatakan minor ke-$ij$ dari matriks $A$, maka kofaktor ke-$ij$ dari matriks $A$, dinyatakan dengan $C_{ij}$, dan didefinisikan sebagai berikut. \[C_{ij}=(-1)^{i+j}\left | M_{ij} \right |\]
Perhatikan :
$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
dan sesuaikan dengan soal
$A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}$
Atau lebih jelasnya \[A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}\]
Baca juga : Persamaan dan Fungsi Kuadrat.
Kali ini akan dibahas mengenai keilmuan matematika khususnya tentang Matriks.
Kita akan belajar mengenai sifat-sifat matriks, operasi matriks, determinan, adjoint, kofaktor, dan invers matriks.
Penyelesaian
Sifat perkalian antara bilangan / konstanta dengan sebuah matriks adalah sebagai berikut :
\[3\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a &3b \\ 3c &3d \end{pmatrix}\]
Kemudian sifat penjumlahan dan pengurangan matriks adalah sebagai berikut :\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} e &f \\ g &h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\pm e &b\pm f \\ c\pm g &d\pm h \end{pmatrix}\]
Sedangkan syaratnya dari operasi penjumlahan dan pengurangan matriks adalah, kedua matriks yang dioperasikan harus memiliki ordo yang sama.
Artinya, matriks A hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan matriks B hanya jika matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama, misal sama-sama berordo 2 x 2 atau sama-sama berordo 2 x 3.
Sedangkan syaratnya dari operasi penjumlahan dan pengurangan matriks adalah, kedua matriks yang dioperasikan harus memiliki ordo yang sama.
Artinya, matriks A hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan matriks B hanya jika matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama, misal sama-sama berordo 2 x 2 atau sama-sama berordo 2 x 3.
Kembali ke sola di atas, mari kita terapkan sifat-sifat dan syarat tersebut maka $3P-Q+2R$ adalah
$3\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
$3\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3.1 &3.3 \\ 3.5 &3(-3) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2.5 &2.1 \\ 2.2 &2.(-3) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3-1+10 &9+2+2 \\ 15-1+4 &-9-3-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3-1+10 &9+2+2 \\ 15-1+4 &-9-3-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
Jadi nilai dari operasi matriks $3P-Q+2R$ adalah $\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Perhatikan kembali syarat perkalian dua matriks. Hasil kali matriks A yang berordo m x n dengan matriks B yang berordo n x p adalah sebuah matriks C yang berordo m x p.
Artinya operasi perkalian matriks hanya bisa berjalan bila Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks ke dua.
\[A_{mxn}.B_{nxp}=C_{mxp}\]
Pengetahuan ini penting terlebih bila pada soal pilihan ganda terdapat berbagai pilihan jawaban yang beragam ordo matriks-nya.
Pastikan pilih jawaban yang ordo matriksnya sesuai syarat perkalian matriks.
Kemudian untuk aturan perkalian matriks mengikuti syarat di atas, perhatikan rumusan berikut ini:\[\begin{pmatrix} a &b \\ f &g \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c &d &e \\ h &i &j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a.c+b.h &a.d+b.i &a.e+b.j \\ f.c+g.h &f.d+g.i &f.e+g.j \end{pmatrix}\]
Kembali ke soal perkalian matriks di atas.
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2.2+(-3)(-1) &2.1+(-3).0 &2.3+(-3)2 \\ 3.2+1(-1) &3.1+1.0 &3.3+1.2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 4+3 &2+0 &6-6 \\ 6-1 &3+0 &9+2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Jadi,
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Aturan dari determinan matriks berordo $2 x 2$ adalah sebagai berikut :
Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix}$ , maka $det(A)=\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} =ad-bc$
Kembali ke soal, kita perlu mengalikan terlebih dahulu matriks $P$ dengan matriks $Q$ menggunakan kaidah perkalian matriks sebelumnya, baru kemudian dicari determinannya.
Matriks $P.Q$ $=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 &2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1.3+2.1 &1.2+2.0 \\ 3.3+2.1 &3.2+2.0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{pmatrix}$
Jadi
$det(P.Q)=\begin{vmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{vmatrix}$
$=(5.6-11.2)$
$\displaystyle =8$
Penyelesaian
Misalkan $A$ adalah matriks persegi. Invers dari matriks $A$ didefinisikan sebagai \[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)\]
Dengan $adj(A)$ adalah adjoint dari matriks $A$, yakni $adj(A)=\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$ jika matriks $A=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$.
Sehingga, \[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}\]
dengan syarat, nilai determinan tidak boleh nol.
Dari soal di atas, maka
$A^{-1}=\frac{1}{1.3-1.4}\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ -4 &1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{1.3-1.4}\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ -4 &1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 &1 \\ 4 &-1 \end{pmatrix}$
PenyelesaianMenggunakan kaidah-kaidah di atas, maka
$A^{-1}B$
$=\frac{1}{(1.4-1.3)}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ -3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 &1 \\ 4 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} (-3)(0)+(1)(6) &(-3)(2)+(1)(7) \\ (4)(0)+(-1)(6) & (4)(2)+(-1)(7) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 6 &1 \\ -6 &1 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Misalkan diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$ .
Maka,
$det(A)$
$=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})$
- $(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})$
*) dengan $a_{xy}$ adalah elemen matrik baris ke-$x$ dan kolom ke-$y$. Sehingga misal $a_{23}$ artinya elemen matriks baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Dan
$adj (A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} & a_{13} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
Kembali ke soal.
Dengan mensubstitusikan elemen matriks ke determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh data sebagai berikut:
$det(A)$
$=\begin{vmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{vmatrix}\begin{matrix} -3 &1 \\ 0 &2 \\ 4 &-2 \end{matrix}$
$=((-3)(2)(0)+(1)(-4)(4)+(2)(0)(-2))$
$-((4)(2)(2)+(-2)(-4)(-3)+(0)(0)(1))$
$=(-16)-(-8)$
$=-8$
Kemudian
$adj(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 &-4 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} 1 &2 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 2 &-4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &-4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 0 &-4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 0 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 0 &2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
Jadi, dari data-data determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh invers matriks ordo $3x3$ sebagai berikut.
$C^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)$
$=\frac{1}{-8}\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1 &0,5 &1 \\ 2 &1 &1,5 \\ 1 &0,25 &0,75 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Jika matriks minor $a_{ij}$ atau $\left | M_{ij} \right |$ menyatakan minor ke-$ij$ dari matriks $A$, maka kofaktor ke-$ij$ dari matriks $A$, dinyatakan dengan $C_{ij}$, dan didefinisikan sebagai berikut. \[C_{ij}=(-1)^{i+j}\left | M_{ij} \right |\]
Sehingga
$C_{32}=(-1)^{3+2}\left | M_{32} \right |=-\left | M_{32} \right |$
$=-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}$
$=-\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 0 &-4 \end{vmatrix}$
$=-((-3)(-4)-(0)(2))$
$=-12$
Perhatikan :
$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
dan sesuaikan dengan soal
$A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}$
Atau lebih jelasnya \[A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}\]
Baca juga : Persamaan dan Fungsi Kuadrat.
