Selamat datang kembali di ilmu sains . Sekarang kita akan membahas mengenai matematika tentang Fungsi Kuadrat. Kita akan belajar mengenai si...
Selamat datang kembali di ilmu sains. Sekarang kita akan membahas mengenai matematika tentang Fungsi Kuadrat.
Kita akan belajar mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, menentukan fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui titik puncak grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya menurut soal adalah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.
$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$
Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.
Penyelesaian
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.
Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan memiliki nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.
Sebaliknya jika $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan memiliki nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
Secara geometri, hubungan nilai diskriminan dengan sumbu $X$ adalah sebagai berikut
Oleh karena pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik memiliki nilai diskriminan nol.
Sehingga
$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$
Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut
$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi
$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$
Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga
$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.
Penyelesaian
$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$
Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat memiliki peranan penting, salah satunya seperti pada soal.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.
Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.
Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu memiliki sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.
Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu
$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$
Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah $80$ meter.
Kita akan belajar mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, menentukan fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui titik puncak grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya menurut soal adalah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.
$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$
Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.
Penyelesaian
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.
Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan memiliki nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.
Sebaliknya jika $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan memiliki nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
Secara geometri, hubungan nilai diskriminan dengan sumbu $X$ adalah sebagai berikut
- Jika $D>0$, maka grafik memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda
- Jika $D=0$, maka grafik menyinggung sumbu $X$ di sebuah titik
- Jika $D<0$, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu $X$
Oleh karena pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik memiliki nilai diskriminan nol.
Sehingga
$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$
Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut
$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi
$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$
Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga
$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.
Penyelesaian
$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$
Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat memiliki peranan penting, salah satunya seperti pada soal.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.
Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.
Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu memiliki sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.
Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu
$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$
Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah $80$ meter.
